Mantık

Önerme Nedir?

Önermeler ta, doğrulanabilir ya da yanlışlanabilir olmak zorunda olan ifadelere önerme denir.Önermeler genellikle “p, q, r, s, t” gibi küçük harflerle gösterilir.

Kesin olan cümleler yanlış veya doğru da olsa önermedir; yani cümlenin yanlış veya doğru olduğunun bilinmesi gerekmez, doğrulanabilir olduğunun bilinmesi yeterlidir. Soru tümceleri önerme olamaz çünkü bir soru doğruluk ifade etmez. Mantığın önermelerle ilgilenen dalı önermeler mantığıdır ve matematiğin konusudur.

→“Alp’in boyu kısadır.” ifadesi önerme değildir.

Çünkü kısa olmanın bir ölçütü yoktur.

→“Adem’in kilosu 20 kg’dır.” ifadesi önermedir.

Çünkü Adem kilosu 20 kg olup olmadığı belirlenebilir.

→“Türkiye’nin başkenti Ankara’dır.” ifadesi bir önermedir.

Önermenin Doğruluk Değeri

Önerme, doğru ya da yanlış hüküm bildiren ifadedir. Şu halde önermenin olası iki farklı doğruluk değeri vardır. İki değerli Önermeler ta üçüncü bir değer yoktur.

Bir önerme doğru ise doğruluk değeri “D” veya “1” ile, yanlış ise “Y” veya “0” ile gösterilir.

Bir p önermesi doğru ise p ≡ 1, yanlışsa p ≡ 0 olarak ifade edilir.

→p: “5 + 2 = 7 olur.” önermesi doğrudur.

Bu durum p ≡ 1 şeklinde gösterilir.

→ q: “Paris bir ülkedir.” önermesi doğru değildir.

Bu durum q ≡ 0 şeklinde gösterilir.

→ r: “2 asal sayıdır.” önermesi doğrudur.

Bu durum r ≡ 1 şeklinde gösterilir.

Doğruluk Değer Sayısı ve Değer Tablosu

n tane farklı önermenin, birlikte 2n tane farklı doğruluk değeri vardır. Önermelerin doğruluk değerlerinin gösterildiği tabloya doğruluk tablosu denir.

*Bir p önermesinin 2 (21) tane doğruluk değeri vardır. Doğruluk değeri tabloda aşağıdaki şekilde gösterilir.

p
D veya 1
Y veya 0

* p ve q gibi iki önermenin 4 (22) tane doğruluk değeri vardır.

p	q
1	1
1	0
0	1
0	0

* p, q, r gibi üç önermenin 8 (23) tane doğruluk değeri vardır.

p	q	r
1	1	1
1	1	0
1	0	1
1	0	0
0	1	1
0	1	0
0	0	1
0	0	0

Denk Önermeler

İki önermenin aynı doğruluk değeri almasına denklik ya da eşdeğerlilik denir.p ve q önermelerinin doğruluk değerleri aynı ise bu durum p ≡ q şeklinde gösterilir ve “p denktir q” şeklinde okunur.

p: “Bir yıl 4 mevsimdir.”

q: “En küçük pozitif sayı 3’tür.”

r: “Ankara Karadeniz bölgesinde değildir.”

s: “4’in karesi 10’dur.”

p ve r önermesi doğrudur. q ve s önermeleri yanlıştır.

p ≡ 1 , r ≡ 1 , q ≡ 0, s ≡ 0 olduğu için denk önermeler p ≡ r ve q ≡ s olarak bulunur.

Bir Önermenin Değili (Olumsuzu)

Bir önermenin değili, o önermenin doğruluk değerinin değiştirilmiş şeklidir. Yani doğru ise yanlış, yanlış ise doğru yapılmasıdır.

Bir önerme doğru ise değili yanlış, yanlış ise değili doğru olur.

1’in değili 0’dır. → 1′ ≡ 0

0’ın değili 1’dir. → 0′ ≡ 1

Bir önermenin değilinin değili kendisidir. → (p’)’ ≡ p

p: “8 sayısı çift bir sayıdır.” önermesi doğrudur. p ≡ 1

p’: “8 sayısı çift bir sayı değildir.” önermesi yanlıştır. p’ ≡ 0

q: “YAZ kelimesi 4 harflidir.” önermesi yanlıştır. q ≡ 0

q’: “YAZ kelimesi 4 harfli değildir.” önermesi doğrudur. q’ ≡ 1

Bileşik Önermeler

İki veya daha fazla önermenin ve, veya, ya da, ise, ancak ve ancak bağlaçları ile birleştirilmesiyle elde edilen yeni önermelere bileşik önerme</stron denir.

Ve Bağlacı (∧)

p ile q önermelerinin “ve” bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye p ve q önermesi denir ve p ∧ q biçiminde gösterilir.

p ∧ q Doğruluk Tablosu

p	q	p ∧ q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

 

 

 

 

 

 

 

 

p ∧ q önermesi, önermelerin her ikisi de doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlıştır.

Örnek

p: “7 asal sayıdır.” önermesi doğrudur. (p ≡ 1)

q: “7 çift sayıdır.” önermesi yanlıştır. (q ≡ 0)

p ∧ q: “7 asal sayıdır ve çift sayıdır.” önermesi yanlıştır. (p ∧ q ≡ 0)

Özellikleri

Tek Kuvvet Özelliği: Her p önermesi için p ∧ p ≡ p olur.

Tabloda sütunlardan p ∧ p ≡ p denkliğini görebilirsiniz.

“ve” Bağlacı Tek Kuvvet Özelliği

p	p	p ∧ p
1	1	1
0	0	0

Değişme Özelliği: Her p ve q önermeleri için p ∧ q ≡ q ∧ p olur.

tabloda gri sütunlardan p ∧ q ≡ q ∧ p denkliğini görebilirsiniz.

“ve” Bağlacı Değişme Özelliği

p	q	p ∧ q	q ∧ p
1	1	1	1
1	0	0	0
0	1	0	0
0	0	0	0

Birleşme Özelliği: Her p, q, r önermesi için (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) olur.

tabloda gri sütunlardan (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) denkliğini görebilirsiniz.

“ve” Bağlacı Birleşme Özelliği

p	q	r	p∧q	q∧r	(p∧q)∧r	p∧(q∧r)
1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	1	0	0	0
1	0	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0
0	1	1	0	1	0	0
0	1	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0

Dağılma Özelliği: Her p, q ve r önermeleri için “ve” bağlacının “veya” üzerine dağılma özelliği aşağıdaki gibidir.

→ “ve” bağlacının “veya” bağlacı üzerine soldan dağılma özelliği

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

→ “ve” bağlacının “veya” bağlacı üzerine sağdan dağılma özelliği

(q ∨ r) ∧ p ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

Veya Bağlacı (∨)

p ile q önermelerinin “veya” bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye p veya q önermesi denir ve p ∨ q biçiminde gösterilir.

p ∨ q Doğruluk Tablosu

p	q	p ∨ q
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

p ∨ q önermesi, önermelerin her ikisi de yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur.

Örnek

p: “Konya bir ildir.” önermesi doğrudur. (p ≡ 1)

q: “Konya başkenttir.” önermesi yanlıştır. (q ≡ 0)

p ∨ q: “Konya bir ildir veya başkenttir.” önermesi doğrudur. (p ∨ q ≡ 1)

Özellikleri

Tek Kuvvet Özelliği: Her p önermesi için p ∨ p ≡ p olur.

“veya” Bağlacı Tek Kuvvet Özelliği

p	p	p ∨ p
1	1	1
0	0	0

Değişme Özelliği: Her p ve q önermeleri için p ∨ q ≡ q ∨ p olur.

“veya” Bağlacı Değişme Özelliği

p	q	p ∨ q	q ∨ p
1	1	1	1
1	0	1	1
0	1	1	1
0	0	0	0

Birleşme Özelliği: Her p, q, r önermesi için (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) olur.

“veya” Bağlacı Birleşme Özelliği

p	q	r	p∨q	q∨r	(p∨q)∨r	p∨(q∨r)
1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	1	1	1	1
1	0	1	1	1	1	1
1	0	0	1	0	1	1
0	1	1	1	1	1	1
0	1	0	1	1	1	1
0	0	1	0	1	1	1
0	0	0	0	0	0	0

Dağılma Özelliği: Her p, q ve r önermeleri için “veya” bağlacının “ve” üzerine dağılma özelliği aşağıdaki gibidir.

→ “veya” bağlacının “ve” bağlacı üzerine soldan dağılma özelliği

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

→ “veya” bağlacının “ve” bağlacı üzerine sağdan dağılma özelliği

(q ∧ r) ∨ p ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

Ya Da Bağlacı

p ile q önermelerinin “ya da” bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye p ya da q önermesi denir ve p ⊻ q biçiminde gösterilir.

p ⊻ q önermesi, önermelerin doğruluk değerleri farklı iken doğru, aynı iken yanlıştır. Ya da bağlacı doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.

p ⊻ q Doğruluk Tablosu

p	q	p ⊻ q
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Değişme Özelliği

Her p ve q önermeleri için p ⊻ q ≡ q ⊻ p olur.

Birleşme Özelliği

Her p, q, r önermesi için (p ⊻ q) ⊻ r ≡ p ⊻ (q ⊻ r) olur.

De Morgan Kuralları

De Morgan kuralı “ve”, “veya” bağlaçları ile bağlanmış iki önermenin değil’ini indirgemek için kullanılan bir ilişkidir.

Buna göre “p veya q önermesinin değili” “p’nin değili ile q’nun değilinin evetlenmesine”, “p ve q’nun değili” “p’nin değili ile q’nun değilinin veya’lanmasına” eşittir.

p ve q nun değili → (p ∧ q)’ ≡ p’ ∨ q’

p veya q nun değili → (p ∨ q)’ ≡ p’ ∧ q’

şeklinde verilen kurallara De Morgan Kuralları denir.

İse Bağlacı (⇒)

Bir tek durum dışında (p ⇒ q) önermesinin doğruluk değeri her zaman doğrudur. Koşullu önermenin yanlış olduğu durum p ≡ 1 iken q ≡ 0 olduğu halidir.

p ⇒ q Doğruluk Tablosu

p	q	p ⇒ q
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

p ⇒ q önermesi p doğru, q yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur.

Örnek

(p ⇒ q’) ∨ q önermesinin doğruluk değerini bulalım.

≡ (p’ ∨ q’) ∨ q [isenin veya denkliği uygulandı]

≡ p’ ∨ (q’ ∨ q) [birleşme özelliği uygulandı]

≡ p’ ∨ 1

≡ 1

p ve q önermeleri ile oluşturulan p ⇒ q koşullu önermesine göre;

p ⇒ q önermesinin karşıtı q ⇒ p ,
p ⇒ q önermesinin tersi p’ ⇒ q’ ,
p ⇒ q önermesinin karşıt tersi q’⇒ p’ olur.

Ancak ve Ancak Bağlacı (⇔)

p ile q önermelerinin “ancak ve ancak” bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye iki yönlü koşullu önerme denir ve p ⇔ q (p ancak ve ancak q) biçiminde gösterilir.

p ⇔ q Doğruluk Tablosu

p	q	p ⇔ q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

p ⇔ q önermesi önermeler aynı doğruluk değerine sahipken doğru, diğer durumlarda yanlıştır.

Örnek

Aşağıdaki önermeleri “ancak ve ancak” bağlacı ile birleştirelim.

p: “16 çift bir sayıdır.” (p ≡ 1)

q: “16 sayısı 2’ye tam bölünür.” (q ≡ 1)

p ⇔ q: “16 sayısı çift bir sayıdır ancak ve ancak 16’ye tam bölünür. (p ⇔ q ≡ 1)

Açık Önerme ve Niceleyiciler

Açık Önerme

İçinde en az bir değişken bulunduran ve bu değişkenin aldığı değerlere göre doğru ya da yanlış hüküm bildiren önermelere açık önerme denir.

x) ≡ x < 3 (Önerme tek değişkenli bir açık önermedir, x in tanım kümesi Doğal Sayılar olması durumunda; x = 1 ve x = 2 değerleri icin P(1) in ve P(2) nin değeri doğru diğer x değerleri için yanlıştır)

Q(x,y) ≡ x + 2 = y (İki değişkenli açık önerme, y lerin x ten farkı iki oldugu her x,y değeri için Q(x,y) doğru önermedir)

İçerisinde x gibi tek değişken bulunduran bir açık önerme p(x), q(x), … ile x ve y gibi iki değişken bulunduran bir açık önerme ise p(x, y), q(x, y), … biçiminde gösterilir. Bir açık önermeyi doğrulayan elemanların kümesine, o açık önermenin doğruluk kümesi denir.

Niceleyiciler

Günlük hayatta “her, hepsi, bazı, en az bir, hiçbiri” gibi sözcükleri kullanırız.

“Her akşam ay görünür.”
“Bazı  zamanlar halsiz oluyor.”

Matematik ve mantıkta da bu niceleyiciler kullanılır ve sembolle gösterilirler.

Her (∀) Niceleyicisi

“Her” sözcüğü bütün, hepsi, tamamı anlamına gelir. Her sözcüğü “∀” sembolü ile gösterilir ve bu niceleyiciye evrensel niceleyici denir.

Bazı (∃) Niceleyicisi

“Bazı” sözcüğü ile “en az bir” sözcüğü aynı anlama gelmektedir. Bazı sözcüğü “∃” sembolü ile gösterilir ve bu niceleyiciye varlıksal niceleyici denir.

Çevirmeler

Sembolik Mantık Diline Çevirme

Çıkarımları sembolik bir dille denetlemek için geliştirilmiştir. Çıkarım, eldeki bilgilerden bir sonuç çıkarma işlemidir. Eldeki bilgilerden beklenen sonuçların çıkıp çıkmadığını araştırmaya denetleme denir.

Sembolik mantık günlük dildeki önermeleri semboller yardımıyla çok anlamlılığa ve belirsizliğe yer vermeden denetleyebilmeyi sağlar.

→ “Her tam sayı kendisinin karesinden küçüktür.”

p(x): “∀x tam sayısı için, x < x2” şeklinde ifade edilir. Her niceleyicisi kullanıldığı için bu kurala uymayan herhangi bir tam sayının bulunması bu önermeyi yanlış yapar. 0 ve 1 sayıları karelerinden küçük değildir, karelerine eşittir. Bu yüzden p ≡ 0 olur.

→ “Bazı doğal sayıların 2 katı 10’dan büyüktür.”

q(x): “∃x doğal sayısı için, 2x > 10” şeklinde ifade edilir. Bazı niceleyicisi kullanıldığı için bu kurala uyan en az bir doğal sayının bulunması bu önermeyi doğru yapar. 7 sayısının 2 katı 10’dan büyük olduğu için önerme doğrudur ve q ≡ 1 şeklinde gösterilir.

Sözel Olarak İfade Etme

Sembolik mantık diliyle verilen önermeleri sözel olarak ifade edebiliriz.

→ r(x): “∀x pozitif tam sayısı için, x2 > 0″

Bu önerme “Her pozitif ve negatif tam sayının küpü 0’dan büyüktür.” şeklinde sözel olarak ifade edilir. Her pozitif ve negatif tam sayının karesi pozitif olduğu için önermenin doğruluk değeri r ≡ 1 olur.

→ s(x): “∃x doğal sayısı için, x + 5 = 0”

Bu önerme “Bazı doğal sayıların 5 fazlası 0’dır.” şeklinde ifade edilir. Bu önermeyi doğru yapacak değer olmadığı için s ≡ 0 şeklinde gösterilir.

Tanım Nedir?

Bir terimi anlamları daha önceden bilinen terimler yardımıyla ifade etmeye tanım denir. İyi bir tanım, tanımlı ve tanımsız terimlerden yararlanmalı, herkes için açık, anlaşılır ve tutarlı olmalı, aynı türden kavramları kapsamalı, aynı türden olmayan kavramları dışarıda bırakmalıdır.

→Rakam: “Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere denir.”

Rakamın tanımı yapılırken sayı ve sembol terimleri kullanılmıştır.

→Denklem: “İçinde değişken bulunan ve değişkene verilen bazı değerler için sağlanan eşitliktir.”

Aksiyom Nedir?

Mantık ve matematikte teorem ispatında öncül işlevi gören, doğruluğu açık ve seçik olarak belirli olan ve bu nedenle ispatına gerek duyulmayan önermelere aksiyom denir.

→“Farklı iki noktadan yalnızca bir doğru geçer.”

→ “Bir doğal sayının ardışığı da doğal sayıdır.”

Teorem nedir?

Doğruluğu ispatlanması gereken önermelere teorem denir. Bir teoremin verilen kısmına hipotez (varsayım), ispatlanacak olan kısmına hüküm (yargı) denir.

p ⇒ q, bir teorem ise p, teoremin hipotezi, q ise hükmüdür.

İspat Nedir?

Bir teoremin hipotezinden hareketle hükmünün doğru olduğunu göstermeye teoremi ispatlamak denir.

Teoremlerin ispatlanması için doğrudan ispat, çelişki yöntemi ile ispat, aksine örnek verme yöntemi ile ispat, karşıt ters yöntemi ile ispat, tümevarım gibi çeşitli ispat yöntemleri vardır.

Kaynakça : https://www.basarisiralamalari.com/