Kümeler

Kümelerde Temel Kavramlar

Küme Nedir?

Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram “nesneler topluluğu veya yığını” olarak yorumlanabilir. Bu tanımdaki “nesne” soyut ya da somut bir şeydir; fakat her ne olursa olsun iyi tanımlanmış olan bir şeyi, bir eşyayı ifade eder. Örneğin, “Tüm canlılar topluluğu”, “Dilimiz alfabesindeki harflerin topluluğu”, “Masamın üzerindeki tüm kâğıtlar” tümcelerindeki nesnelerin anlaşılabilir, belirgin oldukları, kısaca iyi tanımlı oldukları açıktır.

Eleman ve Eleman Sayısı: Kümeyi oluşturan her nesneye o kümenin elemanı denir. Elemanıdır sembolü ∈ ile gösterilir. Elemanı değildir sembolü ∉ ile gösterilir. Bir A kümesinin eleman sayısı sembolle s(A) şeklinde gösterilir.

Kümelerin Gösterilişi

Şema Yöntemi:Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak (sol üstteki resim) gösterilir. Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.

 Şekilde gördüğünüz küme A kümesi olsun .

Liste Yöntemi: Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.

A kümesi elemanlarını yazmak istersek şu şekilde olur;  A= {g,a,1,m,5}.

Ortak Özellik Yöntemi: Kümeye ait elemanların tek tek yazılmak yerine ortak özelliklerinin yazılmasına ortak özellik yöntemi denir. Ortak özellik yöntemiyle kümelerin gösterimi şu şekildedir: { x | x’lerin ortak özelliği }
Öyle ki anlamına gelen “ | ” sembolü yerine “ : ” sembolü de kullanılabilir.

Örnek

X = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

Y= { a, b, c, ç }

Z = { 10, 11, 12, 13 }

Kümeler ortak özellik yöntemiyle farklı şekillerde de yazılabilir. Önemli olan yazılan kümenin tam olarak (ne eksik ne fazla) kümenin elemanlarını belirtmesidir.

X = { a | a, bir rakam }

Y = { a : a, Alfabemizin ilk dört harfinden biri }

Z = { a : 9 <a < 14 , a bir doğal sayı }

Kümeler

Boş Küme: Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme { } veya ∅ sembolleri ile gösterilir. Uyarı: {∅} kümesi boş küme olmayıp bir elemana sahiptir.

Eşit Küme ve Denk Küme: Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.

*A kümesi B kümesine eşit ise A = B biçiminde gösterilir.
*C kümesi D kümesine denk ise C ≡ D biçiminde gösterilir.

Not: Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.

Evrensel Küme: Üzerinde işlem yapılan tüm kümelere ait elemanları içinde bulunduracak şekilde seçilen kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme E harfi ile gösterilir.

Sonlu ve Sonsuz Küme: Eleman sayısı bir doğal sayı ile ifade edilebilen kümelere sonlu küme, edilemeyen kümelere sonsuz küme denir.

Alt Küme

A ve B iki küme olmak üzere A’nın her elemanı B’nin de elemanı oluyorsa, A’ya B’nin alt kümesi denir. B’ye de A’nın kapsayan kümesi denir. Her küme kendisinin bir alt kümesidir. Boş küme her kümenin alt kümesidir.

A kümesinin her elemanı aynı zamanda B kümesinin de elemanı ise A kümesi B kümesinin alt kümesidir ve A ⊂ B ya da A ⊆ B ile gösterilir. Bu durumda B kümesi A kümesini kapsar. Bu ifade ise B ⊃ A ya da B ⊇ A ile gösterilir.

Venn şemasında da görüldüğü gibi A kümesinin her bir elamanı B kümesinin içinde yer almaktadır. Bu durum “A kümesi B kümesinin alt kümesidir (A ⊂ B) ” veya “B kümesi A kümesini kapsar, (B ⊃ A) ” şeklinde ifade edilir.

Özellikleri

*Boş küme her kümenin alt kümesidir. ∅⊂ A
*Her küme evrensel kümenin alt kümesidir. A ⊂ E
*Her küme kendisinin alt kümesidir. A ⊂ A
*A, B ve C kümeleri için A ⊂ B ve B ⊂ C ise A ⊂ C’dir.

Eleman sayısı n olan bir kümenin alt küme sayısı 2n dir.

Öz Alt Küme Sayısı: Bir kümenin kendisi hariç alt kümelerine öz alt kümeleri denir. n elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı 2n − 1.

Eşit Küme

Elemanları aynı olan kümelere eşit küme denir. A ve B kümelerinin eşitliği A = B ile gösterilir.

K = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 } ve L = { x | x , bir rakam } kümeleri eşit kümelerdir ve bu durum K = L şeklinde gösterilir.

Eşit olmayan A ve B kümeleri A ≠ B şeklinde gösterilir.

Kümelerde İşlemler

Kümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

Birleşim İşlemi

A ve B herhangi iki küme olsun. A ve B kümelerinin tüm elemanlarının oluşturduğu kümeye A ve B kümelerinin “birleşim kümesi” denir. A ve B kümelerinin birleşim kümesi “A ∪ B” ile gösterilir, “A birleşim B” şeklinde okunur.

Kısaca; A ∪ B = {x | x ∈ A veya x ∈ B} dir.

Örnek 

A={a,b,c} ve B={a,2,c} kümelerini Venn şemasında gösterelim.

A ∪ B = { 1, 2, a,b,c }

Kesişim İşlemi

A ve B gibi iki kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B’nin kesişim kümesi denir ve A ∩ B biçiminde gösterilir.
A ve B kümelerinin kesişimi ortak özellik yöntemi ile A ∩ B = { x | x ∈ A ve x ∈ B } şeklinde ifade edilir.

A ∩ B = { 3, 4, 5 }

Örnek

Aşağıda verilen şemanın kesişim ve birleşimlerini gösterelim.

J ∩ K={a,b}

J ∪ K={a,b,1,2,3}

Biri diğerinin alt kümesi olan iki kümenin kesişimi kapsanan kümeye, birleşimi kapsayan kümeye eşittir.

s(K ∩ J) = s(M) = 2

s(K ∪ J) = s(S) =5

Örnek

Aşağıda verilen şemanın kesişim ve birleşim kümlerini yazalım.

A ∩ B = { }

A ∪ B = {1,2,3,x,y,z }

Kesişimleri boş küme olan kümelere ayrık kümeler denir. Ayrık iki kümenin birleşiminin eleman sayısı, kümelerin eleman sayıları toplamına eşittir.

A ve B ayrık kümeler ise s(A ∪ B) = s(A) + s(B) olur.

Kesişim ve Birleşim İşlemlerinin Özellikleri

Tek Kuvvet Özelliği:

Kesişim işleminin tek kuvvet özelliği vardır.

A ∩ A = A

Birleşim işleminin tek kuvvet özelliği vardır.

A ∪ A = A

Değişme Özelliği:

Kesişim işleminin değişme özelliği vardır.

A ∩ B = B ∩ A

Birleşim işleminin değişme özelliği vardır.

A ∪ B = B ∪ A

Birleşme Özelliği:

Kesişim işleminin birleşme özelliği vardır.

A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C

Birleşim işleminin birleşme özelliği vardır.

A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C

Yutan ve Birim Eleman:

Kesişim işleminin yutan elemanı boş kümedir.

A ∩ ∅ = ∅

Birleşim işleminin etkisiz elemanı boş kümedir.

A ∪ ∅ = A

Dağılma Özelliği:

Kesişim işleminin birleşim üzerine soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.

A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )

( B ∪ C ) ∩ A = ( B ∩ A ) ∪ ( C ∩ A )

Birleşim işleminin kesişim üzerine soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.

A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )

( B ∩ C ) ∪ A = ( B ∪ A ) ∩ ( C ∪ A )

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

E evrensel küme olmak üzere A kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni denir ve A’ ile gösterilir.

A’nın tümleyen kümesi A’ ortak özellik yöntemi ile A’ = { x | x ∉ A ve x ∈ E } şeklinde ifade edilir.

A’ = { 0, 4 }

( A’ )’ = { 1, 2, 3 } = A

A ∩ A’ = ∅
A ∪ A’ = { 0, 1, 2, 3, 4 } = E

s(A) ∪ s(A’) = 3 + 2 = 5 = s(E)

E \ A = { 0, 4 } = A’

E’ = ∅

Tümleme ile İlgili Özellikler

1) ( A’ )’ = A

Bir kümenin tümleyeninin tümleyeni kendisidir.

2) A ∩ A’ = ∅

Bir kümenin tümleyeni ile kesişimi boş kümedir.

3) A ∪ A’ = E

Bir kümenin tümleyeni ile birleşimi evrensel kümedir.

4) s(A) ∪ s(A’) = s(E)

Bir kümenin eleman sayısı ile tümleyeninin eleman sayısının toplamı evrensel kümenin eleman sayısına eşittir.

5) E \ A = A’

Evrensel kümenin bir kümeden farkı o kümenin tümleyenidir.

6) E’ = ∅

Evrensel kümenin tümleyeni boş kümedir.

7) ∅‘ = E

Boş kümenin tümleyeni evrensel kümedir.

Küme İşlemleri ile Sembolik Mantık Kuralları Arasındaki İlişki 

SEMBOLİK MANTIK	KÜMELER
0	∅∅
1	E
∧	∩∩
∨	∪∪
Değili (‘)	Tümleyeni (‘)
≡≡	=
(p’)’ ≡≡ p	(A’)’ = A
p ∧ p’ ≡≡ 0	A ∩∩ A’ = ∅∅
p ∨ p’ ≡≡ 1	A ∪∪ A’ = E
1 ∧ 0 ≡≡ 0	E ∩∩ ∅∅ = ∅∅
1 ∨ 0 ≡≡ 1	E ∪∪ ∅∅ = E
(p ∧ q)’ ≡≡ p’ ∨ q’	(A ∩∩ B)’ = A’ ∪∪ B’
(p ∨ q)’ ≡≡ p’ ∧ q’	(A ∪∪ B)’ = A’ ∩∩ B’
p ∧ (q ∨ r) ≡≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)	A ∩∩ ( B ∪∪ C ) = ( A ∩∩ B ) ∪∪ ( A ∩∩ C )
p ∨ (q ∧ r) ≡≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)	A ∪∪ ( B ∩∩ C ) = ( A ∪∪ B ) ∩∩ ( A ∪∪ C )

İki Kümenin Kartezyen Çarpımı

a ve b gibi iki eleman arasına virgül konularak (a, b) şeklinde yazılmasına sıralı ikili denir. (a, b) sıralı ikilisinde a’ya birinci bileşen, b’ye ikinci bileşen denir.

Örnek:

Aynı futbol takımında oynayan Ali, Sertaç ve Tamer, 7, 10 ve 11 numaralı formaları giyebilirler. Bu oyuncuların seçebilecekleri formaları gösteren sıralı ikilileri yazalım.

Çözüm

A kümesi A = { Ali , Sertaç , Tamer }
B kümesi B = { 7 , 10 , 11 }
A X B = { (Ali, 7 ), (Ali, 10), (Ali, 11 ), (Sertaç,7 ), (Sertaç,10 ), (Sertaç,11 ), (Tamer, 7 ), (Tamer, 10 ), (Tamer, 11 ) }

Sıralı ikililerde bileşenlerin sırası önemlidir. (a, b) ≠ (b, a)

Sıralı İkililerin Eşitliği

İki sıralı ikilinin birinci bileşenleri birbirlerine, ikinci bileşenleri de birbirlerine eşit ise bu sıralı ikiler eşittir.

(a, b) ve (c, d) sıralı ikilileri birbirine eşit ise bu durum (a, b) = (c, d) şeklinde gösterilir. Bu durumda a = c ve b = d olur.

Kartezyen Çarpımın Özellikleri

S(A) ; A kümesinin eleman sayısını göstermektedir.

1) s(AxB) = s(BxA) = s(A).s(B)
2) A≠B ise AxB ≠ BxA değişme özelliği yoktur.
3) (AxB)xC = Ax(BxC) birleşme özelliği vardır .
4) Ax(BUC) = (AxB)U(AxC)
5) Ax(B ∩C) = (AxB) ∩ (AxC)

Kaynakça : https://www.basarisiralamalari.com/