Oran-Orantı

Oran

İki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasına oran denir. a ve b reel sayılarından en az biri sıfırdan farklı olmak üzere   ifadesine a’nın b’ye oranı denir.

– Oranlanan çokluklardan ikisi aynı anda sıfır olamaz.
– Oranın payı ya da paydası sıfır olabilir.
– Oranlanan çoklukların birimleri aynı tür olmalıdır.
– Oranın sonucu birimsizdir.

Orantı

En az iki  oranın birbirine  eşit olması durumuna  orantı denir.

şeklinde gösterilir.

Orantının Özellikleri

orantısında; b ile c içler aile d dışlardır.

orantısında,
* İçler çarpımı dışların çarpımına eşittir.

ise b.c=a.d

* İçler ve/veya dışlar kendi aralarında yer değiştirebilirler.

k orantı sabiti olmak üzere;

 

ifadeleri olur.

m ve n sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere;

a,b,c sırasıyla x,y,z ile orantılı olsun. O halde

Örnek:

a ve b pozitif sayılar olmak üzere

olduğuna göre a+b toplamı neyin katıdır?

Çözüm:

eşitliğinde a= 6k ve b=3k olacaktır. a+b toplamı, a ve b pozitif sayı olduğundan 9’un katı olmalıdır.

Örnek:

a,b,c sayıları sırasıyla 2,5.7 ile orantılıdır.

2a+3b+4c=94 

olduğuna göre a kaçtır?

Çözüm:

a,b,c sayıları sırasıyla 2,5,7 ile orantılı olduğundan

Buradan a=2k, b=5k, c=7k dır.

2a+3b+4c=94
2.2k+3.5k+4.7k=94
4k+15k+28k=94
47k=94
k=2 dir.

a=2k=2.2=4 tür.

Doğru Orantılı Çokluklar

Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa ya da biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk doğru orantılıdır denir.

x ile y çoklukları doğru orantılı ve k pozitif bir doğru orantı sabiti olmak üzere, y = k . x ifadesine doğru orantının denklemi denir.

Örnek:

a sayısı b sayısı ile doğru orantılıdır.

a=12 iken b=8 olduğuna göre a=6 iken b kaçtır?

Çözüm:

I. Yol

a sayısı b sayısı ile doğru orantılı olduğundan

a =12 iken b=8 ise

O halde a=6 iken b nin değeri

II. Yol

Ters Orantılı Çokluklar

Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa ya da biri azalırken diğeri aynı oranda artıyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır denir.

Ters orantılı çoklukların çarpımı sabittir. aile bçoklukları ters orantılı ise

a.b=k (ters orantı sabiti) şeklindedir.

Örnek:

a sayısı ile b sayısı ters orantılıdır.

a=9 iken b=4 ise a=12 iken b kaçtır?

Çözüm:

I. Yol

a ve b ters orantılı ise a.b=k dir.

a=9 iken b=4
a.b=k ⇒ 9.4=k
36=k

a=12 iken b nin değeri ise
a.b=k
12.b=36
b=3’tür

II. Yol

Ters orantılı çokluklarda karşılıklı çarpım yapılır.

Bileşke Orantı

İkiden fazla oran içeren orantılara bileşke orantı denir.

Bileşke orantı problemlerinde

Örnek:

4 işçi günde 6 saat çalışırsa 40 parça işi 10 günde bitiriyorsa 6 işçi 10 saat çalışarak 30 parça işi kaç günde bitirirler?

Çözüm:

Ortalama Çeşitleri

Aritmetik Ortalama

n tane sayının aritmetik ortalaması bu n sayının toplamının n ye bölümüdür.

sayılarının aritmetik ortalaması, bu n tane sayının toplamının n ye bölümü ile bulunur.

Örnek:

Bir grupta erkeklerin yaş ortalaması  20, kadınların yaş ortalaması 18 dir.

Bayanların sayısı erkeklerin  sayısının  i olduğuna göre bu grubun yaş ortalaması kaçtır.

Çözüm:

Erkeklerin sayısı: 3k      Erkeklerin yaşları toplamı: 3k.20=60k

Kadınların sayısı: 2k    Bayanları yaşları toplamı:  2k.18=36k

Grubun yaş ortalaması aritmetik ortalama olduğundan

Geometrik Ortalama

 sayılarının geometrik ortalması, bu n tane sayının çarpımının n. dereceden kök çinde yazılması ile bulunur.

Örnek:

olduğuna göre a ve b sayılarının geometrik ortalaması kaçtır?

Çözüm:

a ve b sayılarının geometrik ortalaması

Harnonik Ortalama

 sayılarının harmonik ortalması;

a ve b sayılarının harmonik ortalaması

Örnek:

5 ve 20 sayılarının harmonik ortalaması kaçtır?

Çözüm:

Kaynakça : https://www.basarisiralamalari.com/