Üçgenler

 

Üçgenlerde Temel Kavramlar

Üçgende Açılar

Dar Açı: Büyüklüğü 0 ile 90 derece arasında olan açıdır.

Dik Açı: Büyüklüğü 90 derece olan açıdır.

Geniş Açı: Büyüklüğü 90 ile 180 derece arasında olan açıdır.

Doğru Açı: Büyüklüğü 180 derece olan açıdır.

Tam Açı: Büyüklüğü 360 derece olan açıdır.

Tümler Açılar: Toplamları 90 derece olan açılardır. Örneğin 50 derece olan bir açının tümleri(tümler açısı) 40 derecedir.

Bütünler Açılar: Toplamları 180 derece olan açılardır. Örneğin 110 derece olan bir açının bütünleri(bütünler açısı) 70 derecedir.

 

Bir açıyı iki eş açıya ayıran ışına açıortay denir.

Üçgenin Açıları

-Bir üçgenin iç açı ölçüleri toplamı 180° dir.
-Bir üçgenin dış açı ölçüleri toplamı 360° dir.
-Bir üçgenin iki iç açısının ölçüleri toplamı kendilerine komşu olmayan bir dış açının ölçüsüne eşittir.

 Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.

Üçgende Açıortay Özellikleri

Bir üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişir. Bu nokta, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.

 

Bir üçgende iki iç açıortay arasındaki açının ölçüsü, açıortayı çizilmeyen açı ölçüsünün yarısından 90 derece fazladır.

Bu kuralı uygulayacağımız sorular karşımıza çok çıkar bu yukarıdaki formülü kullanarak  çözüme ulaşabilirsiniz.

Bir üçgende iki dış açıortay arasındaki açının ölçüsü ile açıortayı çizilmeyen iç açı ölçüsünün yarısı, birbirinin tümleridir.

 formülü ile a açısı bulunur.

Bir üçgende bir köşenin iç açıortayı ile diğer bir köşenin dış açıortayı arasındaki açının ölçüsü, açıortayı çizilmeyen köşenin iç açı ölçüsünün yarısıdır.

 formülü ile a açısı bulunur.

İkizkenar Üçgen

Herhangi iki kenar uzunluğu birbirine eşit olan üçgene ikizkenar üçgen denir.

Özellikleri

Eş Kenar Üçgen

Üç kenarının uzunluğu, eşit olan üçgenlere eşkenar üçgen denir.

Özellikleri

Üçgende Açı Kenar Bağıntıları

1. Bir üçgende ölçüsü büyük olan açının karşısındaki kenar uzunluğu, ölçüsü küçük olan açının karşısındaki kenar uzunluğundan daha büyüktür. Yani büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.

Tersi de geçerlidir. Uzun kenarı gören açı kısa kenarı gören açıdan daha büyüktür. İkizkenar üçgenden de bildiğimiz gibi eşit açıların karşılarındaki kenarlar eşittir.

2. Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük farkının mutlak değerinden büyüktür. ABC üçgeninde,

3.  Dik, dar ve geniş açılı üçgenlerde kenarlar arasındaki ilişkiler.

Bir dik üçgende kenarlar arasında Pisagor Teoremi a2 = b2 + c2 bağıntısı vardır.

 Dar açılı üçgende b ve c sabit tutulup B açısı küçültülürse b de küçülür.

                                                                m(B) < 90°   b2 < a2  + c2

Geniş açılı üçgende b ve c sabit tutulup B açısı büyütülürse b da büyür.

m(B) < 90°  b2 > c2 + a2

4. Çeşitkenar bir üçgende aynı köşeden çizilen yükseklik, açıortay ve kenarortay uzunluklarının sıralanması,

|AB| = ha ; yükseklik

|AD| = nA ; açıortay

|AK| = Va ; kenarortay

Olmak üzere; ha< nA <Va     şeklinde sıralama vardır.

5. Çeşitkenar bir üçgende, açı, açıortay, kenarortay ve yükseklik arasındaki sıralama; ABC üçgeninde a, b, c kenar uzunluklarıdır.

m(A) > m(B) > m(C) olduğunu varsayalım. Bu durumda üçgende;

Kenarlar : a > b > c

Yükseklikler :     ha < hb < hb

Açıortaylar :       na < nB < nc

Kenarortaylar : Va < Vb < Vc şeklinde sıralanırlar.

Üçgen Eşitsizliği

Bir üçgende bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyüktür. Bu eşitsizliğe üçgen eşitsizliği denir.

b-c < a < b+c

a-c < b < a+c

a-b < c < a+b

Üçgenlerin Yardımcı Elemanları

Açıortay

Bir açıyı iki eş açıya ayıran ışına açıortay denir. Açıortay iç ve dış açıortay olmak üzere ikiye ayrılır.

Açıortay Teoreminin İspatı

Üçgende İç Açıortay

Bir üçgenin bir iç açısını iki eş açıya ayıran ışına o üçgenin iç açıortayı denir. Bir üçgende iç açıortaylar tek noktada kesişir.

Bir üçgende iç açıortayların kesişim noktası üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.

Üçgende İç Açıortay Teoremi

Üçgende Dış Açıortay 

Kenarortay

Bir üçgende bir köşeyi karşısındaki kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına o kenara ait kenarortay denir.

1. Üçgenlerde kenarortaylar bir noktada kesişirler. Kenarortayların kesişim noktasına ağırlık merkezi denir.

ABC üçgeninde [AD], [BE] ve [CF] kenarortaylarının kesiştikleri G noktasına ABC üçgeninin ağırlık merkezi denir.

Ağırlık merkezi kenarortayı, kenara 1 birim, köşeye 2 birim uzaklık olacak şekilde böler.

ABC üçgeninde D, E, F noktaları bulundukları kenarların orta noktaları ve G ağırlık merkezi ise

|AG|=2|GD|
|BG|=2|GE|
|CG|=2|GF|

Bir üçgende iki kenarortayın kesişmesiyle oluşan nokta ağırlık merkezidir.

ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |AG| = 2|GD| olduğunda G noktası ağırlık merkezidir.

ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |CG| = 2|FG| olduğunda G noktası ağırlık merkezidir.

ABC üçgeninde |AG| = 2|GD| ve |CG| = 2|GF| eşitliğini sağlayan G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezidir.

2. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay (dik köşeden çizilen kenarortay) hipotenüsün yarısına eşittir.

ABC dik üçgeninde [BD] hipotenüse ait kenarortay |AD|=|DC|=|BD|

3. Kenarortayların Böldüğü Alanlar

Kenarortaylar üçgenin alanını altı eşit parçaya bölerler.

G ağırlık merkezi köşelere birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür.

G ağırlık merkezi kenarların orta noktaları ile birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür.

4. ABC üçgeninde kenarortaylar ve orta taban [FE] çizilirse

|AK| = 3x
|KG| = x
|GD| = 2x eşitlikleri bulunur.

Bu kuran 312 kuralı olarak da adlandırabilir.

K noktası [AD] kenarortayının orta noktasıdır. Ayrıca [FE] orta taban olduğundan;

[FE] // [BC] 2[FE]=[BC]

ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizildiğinde şekildeki gibi bir alan bölünmesi oluşur.

Kenarların orta noktalarını birbirine birleştirdiğimizde üçgenin alanı dört eşit parçaya bölünür.

5. Kenarortay Uzunluğu (Kenarortay Teoremi)

ABC üçgeninde A köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğu Va ;

6. Dik Üçgende Kenarortaylar

A açısı 90° olan bir dik üçgende kenarortaylar arasında

Orta Dikme

Bir doğru parçasının orta noktasından geçen ve doğru parçasına dik olan doğruya orta dikme doğrusu denir.

Orta dikmenin noktanın üstündeki herhangi bir noktadan, doğru parçasının uç noktalarına olan uzaklıklar birbirine eşittir.

Üçgende Kenar Orta Dikme

Üçgenin kenar orta dikmeleri O noktasında kesiştiğinden 0 noktası, ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezidir
[OA], [OB] ve [OC] çevrel çemberin yarıçaplarıdır.
|OA|=|OB|=|OC|=r olur.

Yükseklik

Üçgenin bir köşesinden karşısındaki kenara çizilen dikmeye üçgenin o kenarına ait yüksekliği denir. Yükseklik daima kenara diktir.

Bir üçgende yükseklikler tek bir noktada kesişir. Bu noktaya da diklik merkezi denir.

İkiz Kenar Üçgende Yükseklik

İkizkenar üçgenlerde eşit olmayan kenara indirilen dikme üçgeni iki eş üçgene ayırır.

1. Bir üçgende, açıortay aynı zamanda yükseklik ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.

2. Bir üçgende, açıortay aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.

3. Bir üçgende, yükseklik aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.

4. İkizkenar üçgende ikizkenara ait yükseklikler eşittir. Bu durumda yüksekliklerin kesim noktasının ayırdığı parçalarda eşit olur. İkizkenar üçgende ikizkenara ait kenarortaylar ve kenarortayların kesim noktasının ayırdığı parçalar da birbirine eşittir.

Eşkenar Üçgende Yükseklik

1. Eşkenar üçgende bütün açıortay, kenarortay yükseklikler çakışık ve hepsinin uzunlukları eşittir.

2. Eşkenar üçgenin bir kenarına a dersek yükseklik;

3. Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dik uzunlukların toplamı, eşkenar üçgene ait yüksekliği verir. Bir kenarı a olan eşkenar üçgende;

Kayanakça : https://www.basarisiralamalari.com/