Denklem ve Eşitsizlikler
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
Kavramlar
a, b, c ∈ R olsun,
Bir eşitliğin her iki yanına aynı sayı eklenip çıkarılabilir. Bu durumda eşitlik değişmez.
a = b ise a+c = b+c ve a – c = b – c olur.
Bir eşitliğin her iki yanı sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılabilir. Bu durumda eşitlik değişmez.
a=b ise a.c = b.c olur.
a ve b gerçek sayı ve a sıfırdan farklı olmak üzere ax+b=0 ifadesine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan x değerine denklemin kökü ve ve bu değerlerin oluşturduğu kümeye de denklemin çözüm kümesi denir.
x – 2 = 3 denklemini sağlayan tek bir x değeri vardır ve bu değer 5’tür.
Çözüm
x = 3 + 2
x = 5
Denklemin kökü: 5
Çözüm kümesi: Ç = { 5 }
Denklemler Çözülürken İzlenecek Yollar
Denklem Çözümleri
Örnek
3x − 5 = x + 5 denklemini çözelim.
Bilinmeyenleri eşitliğin bir tarafına, diğer sayıları diğer tarafa toplarız.
3x − x = 5 + 5 (−5 sağa +3 olarak geçer, x sola −x olarak geçer.)
2x = 10 (x’in başındaki 2 katsayısını karşıya bölü olarak geçer.)
x = 
x = 5
Örnek
2(3x − 5) = 8 − 3(x + 4) denklemini çözelim.
6x − 10 = 8 − 3x − 12 (Parantez önlerindeki 2 ve −3 parantezlere dağıtılır.)
6x + 3x = 8 − 12 + 10 (−3x sola +3x olarak, −10 sağa +10 olarak geçer.)
9x = 6 (x’in başındaki 9 katsayısını karşıya bölü olarak geçer.)
x = 
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
Kavramlar
> (büyüktür), ≥ (büyüktür veya eşittir), < (küçüktür), ≤ (küçüktür veya eşittir) sembolleri ile yazılan matematiksel ifadelere eşitsizlik denir.
a,b ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere;
ax + b > 0
ax + b ≥ 0
ax + b < 0
ax + b ≤ 0
şeklindeki eşitsizliklere x değişkenine bağlı birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir.
Eşitsizliklerin derecesi, değişkenin kuvvetine bağlıdır.
6x + 3 > 5 ve 2π/3 − 12 ≤ 30 eşitsizlikleri birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliktir.
x2 < 16 ve
+ 1 ≤ 9 eşitsizlikleri birinci dereceden eşitsizlik değildir.
Bir eşitsizlikte değişkenin (x) eşitsizliği sağlayan değer aralığını bulmaya eşitsizlik çözmek denir.
Değişkenin (x) eşitsizliği sağlayan değer aralığına çözüm kümesi adı verilir ve genelde Ç harfi ile gösterilir.
Eşitsizliklerin Özellikleri
1. Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayıyı eklememiz veya her iki tarafından aynı sayıyı çıkarmamız gerekebilir, bu durumda eşitsizlik bozulmaz yani eşitsizliğin yönü değişmez.
2. Eşitsizliğin her iki tarafını aynı sayı ile çarpmamız veya her iki tarafını aynı sayıya bölmemiz gerekebilir.
*Bir eşitsizliğin her iki tarafını pozitif bir sayı ile çarparsak veya her iki tarafını pozitif bir sayıya bölersek eşitsizlik bozulmaz, yönü değişmez.
*Bir eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayı ile çarparsak veya her iki tarafını negatif bir sayıya bölersek eşitsizlik bozulur, yönü değişir.
Eşitsizlik yön değiştirdiğinde < sembolü yerine > sembolü, > sembolü yerine < sembolü, ≤ sembolü yerine ≥ sembolü ve ≥ sembolü yerine ≤ sembolü gelir.
Örnek
2x+5 < 25 eşitsizliğini çözelim.
Çözüm
Bu eşitsizliği çözmek için bilinmeyen olan x’i eşitsizliğin herhangi bir tarafında yalnız başına elde etmeliyiz. Bunun için önce +5’ten kurtulmamız gerekiyor. +5’ten kurtulmak için eşitsizliğin her iki tarafından 5 çıkarmalıyız.
2x+5-5 < 25-5
2x < 20 Şimdi de x’in önündeki 2’den kurtulmak için her iki tarafı 2’ye bölmeliyiz.
2x : 2 < 20 : 2
x < 10 x’i yalnız başına elde ettiğimize göre eşitsizliği çözdük.
Örnek
2x − 5 > x − 2 eşitsizliğini çözelim.
Çözüm
2x − 5 > x − 2 (Eşitsizliğin her iki tarafından x çıkartılır.)
x − 5 > −2 (Eşitsizliğin her iki tarafına 5 eklenir.)
x > 3
Çözüm kümesi (3,∞) olarak bulunur.
Sayı Doğrusunda Gösterme
Verilen bir eşitsizliğin çözüm kümesini gerçek sayılarda aralık kavramı konusunda anlatıldığı şekilde sayı doğrusunda gösterilir.
Örnek
−9 ≤ 2x + 3 < 21 eşitsizliğini çözelim ve çözüm kümesini sayı doğrusunda gösterelim.
−9 ≤ 2x + 3 < 21
−12 ≤ 2x < 18
−6 ≤ x < 9
Çözüm kümesi [−6,9) olarak bulunur.
Örnek
2x − 4 < x − 1 ≤ 3x + 7 eşitsizliğini çözelim ve çözüm kümesini sayı doğrusunda gösterelim.
Eşitsizliğin üç tarafında farklı katsayılara sahip olan bu tür eşitsizliklerin çözüm iki parça halinde yapılır ve bulunan kümelerin kesişimi alınır.
1. KISIM
2x − 4 < x − 1
x < 3
2. KISIM
x − 1 ≤ 3x + 7
−8 ≤ 2x
−4 ≤ x
Bu iki eşitsizliğin (−4 ≤ x ve x < 3) kesişimi −4 ≤ x < 3 olur.
Çözüm kümesi [−4,3) olarak bulunur.
Kaynakça : https://www.basarisiralamalari.com/
Hiç yorum yok